Δεν φανταζόμαστε βέβαια να ξεχάσατε το προβληματάκι το οποίο είχε τεθεί στο τεύχος 19 τον Ιούνιο που μας πέρασε. Και σίγουρα δεν μιλάμε για το , αλλά για το πρόβλημα με τις τελείες. Απαντήσεις ήρθαν και μάλιστα καλοδουλεμένες, όμως το θέμα δεν φάνηκε να έκλεισε.

Θυμίζουμε ότι έχουμε 4 τελείτσες τοποθετημένες σε γωνίες τετραγώνου. Ο παίκτης 1 παίζει πρώτος και τραβάει συμπαγείς γραμμές, ενώ ο παίκτης 2 εστιγμένες. Παίζουν εναλλάξ. Όταν κάποιος παίκτης κλείσει ένα τετραγωνάκι, βάζει το όνομά του μέσα. Κερδίζει αυτός με τα περισσότερα τετράγωνα “δικά του”.

Να δούμε την καλύτερη απάντηση που μας έστειλε η Ελένη Τρομπέτα πρωτοετής φοιτήτρια της Γεωπονικής. Έχουν παραλειφθεί υπολογιστικές λεπτομέρειες λόγω ελλείψεως χώρου.

(α) Στις 9 τελείες σχηματίζονται 4 τετράγωνα 1x1. Αν και οι δύο παίκτες παίξουν τέλεια, θα έρθουν ισοπαλία.

(β) Η τέλεια μεθοδολογία παιξίματος είναι αυτή που δεν επιτρέπει στον αντίπαλο να κλείσει δύο τετράγωνα ταυτόχρονα. Αν δηλαδή και οι δύο παίξουν τέλεια, θα βρίσκονται διαρκώς στον πόντο, επειδή κανένας δεν θα επιτρέπει στον άλλο να πάρει διαφορά. Για άρτια κουτάκια λοιπόν οι δύο παίκτες θα έρχονται πάντα ισοπαλία.

Σημείωση ΝΥΓΜΑ: Η απάντηση εδώ πιστεύουμε ότι δεν είναι πλήρης. Ο ισχυρισμός φαίνεται απολύτως λογικός, όμως δεν αποδεικνύεται. Ποιος μας διαβεβαιώνει για μεγάλους πίνακες ότι δεν μπορεί κάποιος παίκτης να διαμορφώσει στρατηγική ανάλογα με τις απαντήσεις του αντιπάλου του και να τον κερδίσει ακόμα και σε άρτια κουτάκια;

Στο σκάκι ισχυρίζονται ότι εάν και οι δύο παίκτες παίξουν τέλεια δεν μπορεί παρά να έχουμε πάντα ισοπαλία. Δεν αμφιβάλλει λοιπόν κανείς ότι με τέλειο παίξιμο στα άρτια κουτάκια θα έχουμε πάντα ισοπαλία. Μπορεί να υπάρχουν όμως μεθοδολογίες παιξίματος (όπως στο σκάκι) που κερδίζουν και στηρίζονται όχι στο ότι ο άλλος αντίπαλος δεν παίζει καλά αλλά στην πολλαπλή αποτελεσματικότητα του σχεδίου. Για τέτοιες μεθοδολογίες ψάχνει η ερώτηση.

γ) Για πίνακα vxν θα σχηματιστούν (ν-1)² κουτάκια. Για ν περιττό είναι ν-1 άρτιο και (ν-1)² άρτιο, άρα ισοπαλία με (ν-1)²/2 κουτάκια για τον καθένα. Για ν άρτιο είναι ν-1 περιττό και (ν-1)² περιττό οπότε αποκλείεται η ισοπαλία.

Ορίζω ως γραμμή το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο τελείες. Για ν άρτιο θα υπολογίσω τον αριθμό των γραμμών. Προφανώς, αφού έχω πίνακα vxν, θα έχω και 2ν(ν-1) γραμμές, δηλαδή άρτιο πλήθος. Άρα ο δεύτερος παίκτης, που παίζει τελευταίος, θα κερδίζει.

δ) Για πίνακα vxμ θα σχηματιστούν (ν-1)(μ-1) κουτάκια. Εάν τουλάχιστον ένας από τους ν και μ είναι περιττός, τότε (ν-1)(μ-1) άρτιος, άρα ισοπαλία.

Εάν ν και μ άρτιοι τα πράγματα περιπλέκονται. Το πλήθος των γραμμών τώρα είναι προφανώς (ν-1)μ+(μ-1)ν. Όμως ν-1 περιττός και μ άρτιος άρα (ν-1)μ άρτιος. Όμοια (μ-1)ν άρτιος. Οπότε (ν-1)μ+(μ-1)ν άρτιος. Άρα θα νικήσει ο δεύτερος παίκτης γιατί θα κλείσει και το τελευταίο τετράγωνο.

Κάπου εδώ τελειώνει και η ανάλυση της Ελένης, η οποία αποτελεί δυστυχώς όχι μία πλήρη λύση, αλλά μία έξοχη αρχή. Μένει να αποκαλυφθεί η τέλεια μεθολογία παιξίματος. Και εδώ διαφαίνεται μία πρόκληση: σύμφωνα με αυτούς τους υπολογισμούς, εάν και οι δύο παίκτες παίξουν καλά, ο πρώτος δεν κερδίζει ποτέ!! Εμείς απλώς περιμένουμε την απάντηση που θα το καταρρίψει.

Ελένη Τρομπέτα Γεωπονική